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4.1 बौद्ध्धिक खेल!, अध्यापिका ने कहा है कि वह गणित का एक नया अध्याय पढ़ांना. प्रारंभ 1४ 221, , करने जा रही हैं और वह है सरल समीकरण। अप्पू, सरिता और अमीना कै रा “2 नल हि पा (], ने कक्षा ५] में पढ़े गए बीजगणित वाले अध्याय का-पुर्नावलोकन कर लिया ६०] 1 हटना, , है। क्या आपने भी कर लिया है? अप्पू, सरिता और अमीना उत्साहित हैं... का (1!, क्योंकि उन्होंने एक खेल बनाया है, जिसे वे बौद्धिक खेल (फ्रागवट्बव1ला), , कहती हैं तथा वे उसे पूरी कक्षा के सम्मुख प्रस्तुत करना चाहती हैं।, , अध्यापिका उनके उत्साह की सराहना करती है और उन्हें अपना खेल प्रस्तुत करने के लिए, आमंत्रित करती है। अमीना खेल प्रारंभ करती है। वह सारा से कोई संख्या सोचने को कहती है, तथा उसे 4 से गुणा करके गुणनफल में 5 जोड़ने को कहती है। इसके बाद वह सारा से इसका, परिणाम बताने को भी कहती है। सारा कहती है कि परिणाम 65 है। अमीना तुरंत घोषणा करती, है कि सारा द्वारा सोची गई संख्या 15 है। सारा सिर हिलाकर हाँ कहती है। सारा समेत पूरी कक्षा, आश्चर्यचकित हो जाती है।, , अब अप्पू की बारी है। वह बालू से कोई संख्या सोचने, उसे 10 से गुणा करने और गुणनफल, में से 20 घटाने को कहता है। इसके बाद वह बालू से उसका परिणाम बताने को कहता है। बालू, कहता है कि यह 50 है। अप्पू तुरंत बालू द्वारा सोची गई संख्या बताता है और कहता है कि वह, संख्या 7 है। बालू इसकी पुष्टि करता है।, , प्रत्येक व्यक्ति यह जानना चाहता है कि अप्पू, सरिता और अमीना द्वारा प्रस्तुत बौद्धिक खेल, किस प्रकार कार्य करता है। क्या आप देख सकते हैं कि यह कैसे कार्य करता है? इस अध्याय, और अध्याय 12 को पढ़ने के बाद, आप भली-भाँति यह जान जाएँगे कि यह खेल किस प्रकार, कार्य करता है।, , 2020-21

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व््य तणित, , 4.2 समीकरण बनाना, , आइए अमीना का उदाहरण लें। अमीना सारा से कोई संख्या सोचने को कहती है। अमीना संख्या, के बारे में कुछ नहीं जानती है। उसके लिए, यह संख्या 1, 2, 3, .. ., 11, .. . , 100, ... . में से, कुछ भी हो सकती है। आइए इस अज्ञात संख्या को एक अक्षर » से व्यक्त करें। आप » के स्थान, पर कोई अन्य अक्षर जैसे » / इत्यादि का प्रयोग कर सकते हैं। इससे कोई प्रभाव नहीं पड़ता कि, सारा द्वारा सोची गई अज्ञात संख्या के लिए हम कौन-सा अक्षर प्रयोग करते हैं। सारा जब संख्या, को 4 से गुणा करती है, तो उसे 4 प्राप्त होता है। फिर वह इस गुणनफल में 5 जोड़ती है और, 4.0+ 5 प्राप्त करती है। (45+5) का मान » के मान पर निर्भर करता है। इस प्रकार, यदि ५८, 1 है, तो 47+ 5-4 9८1 + 5-9 है। इसका अर्थ है कि यदि सारा के मस्तिष्क में 1 होता, तो उसके, द्वारा प्राप्त परिणाम 9 होता। इसी प्रकार, यदि उसने संख्या 5 सोची होती, तो उसका ४55 के लिए, 4.0+ 5-42 5+5- 25 । यानी, सारा ने यदि संख्या 5 सोची होती तो उसका परिणाम 25 होता।, , सारा द्वारा सोची संख्या ज्ञात करने के लिए, आइए उसके द्वारा प्राप्त उत्तर 65 से विपरीत की, ओर कार्य करना प्रारंभ करें। हमें ऐसा % ज्ञात करना है कि, , ह 4#+र5 € 65 (4.1), ह। इस समीकरण (८५०००) का हल ही हमें सारा के मन की संख्या को बताएगा।, , इस प्रकार, आइए अब अप्पू के उदाहरण पर विचार करें। आइए बालू द्वारा चुनी गई संख्या, को » मान लें। अप्पू ने बालू से इस संख्या को 10 से गुणा कर और फिर गुणनफल में से 20 घटाने, को कहा था। अर्थात्‌बालू » से, पहले 10) प्राप्त करता है और उसमें से 20 घटा कर (10/-20), , प्राप्त करता है। इसका ज्ञात परिणाम 50 है।, , 2“ अतः, 1079-20 - 50 (4.2), इस समीकरण का हल-ही बालू द्वारा सोची गई संख्या बताएगा।, , 4.3 जो हमें'ज्ञोत है उसकी समीक्षा, , ध्यान दीजिए कि (4.1) और (4.2) समीकरण हैं। आइए याद करें कि कक्षा ५] में हमने समीकरणों, के बारे में क्या पढ़ा था। समीकरण चर पर एक प्रतिबंध होता है। समीकरण (4.1) में, चर, » है तथा समीकरण (4.2) में, चर » है।, , शब्द चर (५७१७01९) का अर्थ है, ऐसी कोई वस्तु जो विचरण कर, अर्थात्‌ बदल सकती हो।, एक चर विभिन्‍न संख्यात्मक मान ले (ग्रहण कर) सकता है, अर्थात्‌ इसका मान निश्चित या स्थिर, नहीं होता है। चरों को प्राय: अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों ५, 3, 5, ॥, #, #, # इत्यादि से व्यक्त किया, जाता है। चरों से हम व्यंजकों (०५०८४४०४७) को बनाते हैं। ये व्यंजक चरों पर योग, व्यवकलन,, गुणन और विभाजन जैसी संक्रियाएँ करके प्राप्त किए (बनाए) जाते हैं। » से हमने व्यंजक, (4.0 + 5) बनाया था। इसके लिए, हमने पहले « को 4 से गुणा किया और फिर गुणनफल में 5, जोड़ा था। इसी प्रकार, हमने » से व्यंजक (109 - 20) बनाया था। इसके लिए, हमने » को 10 से, गुणा किया और फिर गुणनफल में से 20 को घटाया था। ये सभी व्यंजकों के उदाहरण हैं।, , , , , , , , , 2020-21

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सरल समीकरण, , उपरोक्त प्रकार के बनाए गए एक व्यंजक का मान, चर के चुने गए मान पर निर्भर करता, है। जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं कि जब ४ | है, तो 45+ 5 5 9 है; जब, 5 है, तो 40+5-25 है इसी प्रकार,, जब &< 15, तो 46+ 5 49८15 + 5 ८ 65 हे;, जब ><0, तो 44+ 5-4» 0+5-5 है, इत्यादि।, , समीकरण (4.1) चर » पर एक प्रतिबंध है। यह बताती है कि व्यंजक 4ल्‍+ 5 का मान 65 है।, यह प्रतिबंध &- 15 होने पर संतुष्ट होता है। संख्या 15 समीकरण 4५ + 5 5 65 का एक हल, (४०ए४ं०) है। जब "5 5 है, तो 45+5 - 25 है जो 65 के बराबर नहीं है। इस प्रकार,, >> 5 इस समीकरण का हल नहीं है। इसी प्रकार, &50 भी इस समीकरण का हल नहीं है। 15, के अतिरिक्त, का कोई भी मान प्रतिबंध 40+5 - 65 को संतुष्ट नहीं करता है।, , प्रयास कीजिए, , व्यंजक (109 - 20) का मान » के मान पर निर्भर करता है। » को*पाँच रह जि, तथा » के प्रत्येक मान के लिए (10 » - 20) का मान ज्ञात करके इसकी । | कर, (10 »- 20) के प्राप्त किए गए विभिन्‍न मानों से, बट जे आप 10%-- 20 5 50 को कोई हल देख... तै:, रहे हैं? यदि कोई हल प्राप्त नहीं हुआ हे, तो » को मान देकर, ज्ञात कीजिए कि, प्रतिबंध 10/- 20-50 संतुष्ट होता है या नहीं। « «|, , 4.4 समीकरण क्‍या है?, एक समीकरण में, समता या समिका (०५७७॥५) का चिह्न सदैव होता है। समता का चिह्न यह, दर्शाता है कि इस चिह्न के बाई ओर के व्यंजक [बायाँ पक्ष (.त$)] का मान चिह्न के दाईं ओर, , के व्यंजक [दायाँ पक्ष (राप्र$)] के मान के बराबर है। समीकरण (4.1) में, 1..1.5 (40+ 5) है तथा, (रात 65 है। समीकरण (4.2) में, 1.15 (107- 20) तथा 1रात्र$ 50 है।, , यदि 1,प्$ और 1रात्र$ के बीच में समता. चिह्न के अतिरिक्त कोई अन्य चिह्न हो, तो वह एक, समीकरण नहीं होती है। इसलिए 4#+:5 > 65 एक समीकरण नहीं है।, , यह कथन हमें बताता है कि (4.:+5) का मान 65 से अधिक है।, इसी प्रकार, 4:+ 5 < 65 भी एक समीकरण नहीं है। यह कथन हमें बताता है कि (4ल्‍+ 5), का मान 65 से कम हे।, , समीकरणों में हम प्राय: यह देखते हैं कि [शत्र& केवल एक संख्या है। समीकरण (4.1) में यह, 65 है तथा समीकरण (4.2) में यह 50 है। परंतु ऐसा होना सदैव आवश्यक नहीं है। एक समीकरण, का दायाँ पक्ष (रात्र॒$) चर से संबद्ध एक व्यंजक भी हो सकता है। उदाहरणार्थ, समीकरण, 40+ 5 5 68-25, में समता चिह्न के बाई ओर व्यंजक 45+5 है तथा उसके दाईं ओर व्यंजक 6.- 25 है।, संक्षिप्त रूप में, एक समीकरण चर पर एक प्रतिबंध होता है। प्रतिबंध यह है कि दोनों व्यंजकों, के मान बराबर होने चाहिए। ध्यान दीजिए कि इन दोनों व्यंजकों में से कम से कम एक में चर, अवश्य होना चाहिए।, , , , , , , , , , 2020-21

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गणित, , हम समीकरणों का एक सरल और उपयोगी गुण देखते हैं। समीकरण 4६+5 65 वही है जो, समीकरण 65 - 4.5 + 5 है। इसी प्रकार, समीकरण 6.0 - 25 - 4५% +5 वही है जो समीकरण, 4५ + 55 6./- 25 है। किसी समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों के व्यंजकों को आपस में बदलने, पर, समीकरण वही रहती है। यह गुण बहुधा समीकरणों को हल करने में उपयोगी रहता है।, , उदाहरण 1 निम्नलिखित कथनों को समीकरणों के रूप में लिखिए :, , 0), 0), 00, (५), , हल, |, , 0), , 0), , (५), , » के तिगुने और 11 का योग 32 है।, , यदि किसी संख्या के 6 गुने में से आप 5 घटाएँ, तो 7 प्राप्त होता है।, # का एक चौथाई 7 से 3 अधिक है।, , किसी संख्या के एक तिहाई में 5 जोड़ने पर 8 प्राप्त होता है ।, , » का तिगुना 35 है।, 3 और 11 का योग 35+ 11 है। यह योग 32 है।, अतः, वांछित समीकरण 30 + 11 ८ 32 है।, , आइए मान लें कि यह संख्या< है। ८ को 6 से गुणा, करने पर 62 प्राप्त होता-है।, , 6: में से 5 घटाने पर 65-35 प्राप्त होगा। यह परिणाम, ग्है।, , अतः, वांछित समीकरण 6: -5 >7 है।, , , , /४ का एके चौथाई र है, , यह 7 से 3 अधिक है। इसका अर्थ है कि अंतर ( थ -7) बराबर 3 है।, अतः, वांछित समीकरण थ्र -7 -3 है।, , वांछित संख्या को # मान लीजिए। # का एक तिहाई द है।, , उपरोक्त एक-तिहाई जमा 5, ५ +5 है। यह 8 के बराबर है ।, , 3, अतः, वांछित समीकरण दर +5- ह है।, , उदाहरण 2 निम्नलिखित समीकरणों को सामान्य कथनों के रूप में बदलिए :, , 0), हल, (0), 6), , +-5-9 6) %ऋ-20 की) आ+7<51 6) दर -256, , » में से 5 निकालने पर 9 प्राप्त होता है।, एक संख्या # का पाँच गुना 20 है।, , 2020-21

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सरल समीकरण, , , , (0) 1 प्राप्त करने के लिए# के तीन गुने में 7 जोडिए।, , (6५) किसी संख्या # के डे भाग में से 2 घटाने पर 6 प्राप्त होता है।, , यहाँ ध्यान देने योग्य एक महत्वपूर्ण बात यह है कि एक दिए हुए समीकरण को, केवल एक, ही नहीं, बल्कि अनेक सामान्य कथनों के रूप दिए जा सकते हैं। उदाहरणार्थ, उपरोक्त समीकरण, (0) के लिए. आप कह सकते हैं :, , , , > में से 5 घटाइए। आपको 9 प्राप्त होता है। प्रयास कीजिए, , अथवा संख्या , 9 से 5 अधिक है। उपरोक्त समीकरणों (8), (8) और (९), , अथवा. 9 संख्या + से 5 कम है। मेले के अशफैकन के लिए, कम से, , अथवा » और 5 का अंतर 9 है; इत्यादि। हक के सम में, ः लिखिए. ८, , उदाहरण 3 निम्नलिखित स्थिति पर विचार कीजिए :, , राजू के पिता की आयु राजू की आयु के तीन गुने से 5 वर्ष अधिक है। राजू केपिता की आयु, 44 वर्ष है। राजू की आयु ज्ञात करने के लिए, एक समीकरण बनाइए (स्थापित कौजिए)।, , हल हमें राजू की आयु ज्ञात नहीं है। आइए इसे » वर्ष मान लें। राजू की आयु का तीन, गुना 39 वर्ष है। राजू के पिता की आयु 3) वर्ष से 5 वर्ष अधिक है। अर्थात्‌ राजू, के पिता की आयु (39+5) वर्ष है। यह भी दिया है कि राजू के पिता की आयु, 44 वर्ष है।, , अतः, 39+5-44 (4.3), यह चर » में एक समीकरण है। इसे हल करने पर राजू की आयु ज्ञात हो जाएगी।, , उदाहरण 4 एक दुकानदार दो प्रकार की पेटियों में आम बेचता है। ये पेटियाँ छोटी और बड़ी, हैं। एक बड़ी पेटी में 8 छोटी पेटियों के बराबर आम और 4 खुले आम आते हैं।, प्रत्येक छोटी पेटी में आमों की संख्या बताने वाला एक समीकरण बनाइए। दिया, हुआ है कि एक बड़ी पेटी में आमों की संख्या 100 है।, , हल मान लीजिए कि एक छोटी पेटी में # आम हैं। एक बड़ी पेटी में # के 8 गुने, से 4 अधिक आम हें। अर्थात्‌ एक बड़ी पेटी में 871+4 आम हैं। परंतु यह संख्या, , 100 दी हुई है। इस प्रकार,, 8#+ 45 100 (4.4), , इस समीकरण को हल करके, आप एक छोटी पेटी के आमों की संख्या ज्ञात कर सकते हैं।, , 2020-21