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राशियों की तुलना, 0757CHOS, 8.1 भूमिका, हमारे दैनिक जीवन में, अनेक ऐसे अवसर आते हैं जब हम दो राशियों की तुलना, करते हैं। मान लीजिए हम हीना और आमिर की ऊँचाइयों, हैं। हम पाते हैं कि, 1. हीना, आमिर से दो गुनी ऊँची है।, -150, O NERT, अथवा, 2. आमिर की ऊँचाई हीना की ऊँचाई की आधी है।, एक और उदाहरण पर विचार कीजिए, जब हम 20 कँचे, रीटा और, अमित में इस प्रकार बाँटते हैं कि रीता को 12 कँचे तथा अमित को 8, 150 cm 75 cm, हीना, आमिर, कँचे मिलते हैं। हम कह सकते हैं:, 3, 1. रीता के पास,, अमित से, गुने कँचे हैं ।, अथवा, 2. अमित के पास रीता के कंचों का, भाग है।, ऐसे ही एक और उदाहरण में हम चीते और एक, आदमी की चालों की तुलना करते हैं ।, यहाँ चीते की चाल आदमी की चाल की 6 गुनी है।, आदमी की चाल, चीते की चाल, 20 km प्रति घंटा, अथवा, 120 km प्रति घंटा, आदमी की चाल, चीते की चाल का, वाँ भाग है ।, 2020-21, moife repolished, 8., अध्याय

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166, |गणित, क्या आपको भी ऐसी कुछ अन्य तुलनाएँ याद हैं? कक्षा 6 में हम दो राशियों की तुलना करना, सीख चुके हैं, जब हमने बताया कि एक राशि, दूसरी राशि की कितने गुनी है । अब हम यह देखते, हैं कि किसी तुलना को भी उल्टा करके यह बताया जा सकता है कि दूसरी राशि पहली राशि, का कौन-सा भाग है ।, ऊपर के उदाहरणों में, हम राशियों को, जैसे ऊँचाइयों को, अनुपात के रूप में भी दर्शा सकते हैं ।, जैसे, हीना की ऊँचाई : आमिर की ऊँचाई %= 150:75 अथवा 2:1 है।, क्या, अब आप अन्य तुलनाओं को भी अनुपातों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं ?, ये परस्पर तुलनाएँ हैं, जो दो विभिन्न स्थितियों में भी समान हो सकती हैं ।, यदि हीना की ऊँचाई 150 cm तथा आमिर की ऊँचाई 100 cm होती, तब उनकी ऊँचाइयों में, अनुपात होता, 150, हीना की ऊँचाई : आमिर की ऊँचाई = 150:100 =, 100, 3, 3:2 है।, यह वही अनुपात है जो रीता ओर अमित के कंचों में था ।, इस प्रकार, हम देखते हैं कि दो विभिन्न स्थितियों, सकता है।, तुलना करने पर, एक ही अनुपात मिल, ध्यान रखिए कि तुलना करने में दोनों राशियों की इकाइयाँ समान होनी चाहिए। अनुपात की कोई, इकाई नहीं होती।, ACER, उदाहरण 1, 3 km का 300 m, साथ अनुपात ज्ञात कीजिए ।, हल, पहले दोनों दूरियों को एक ही इकाई में लिखते हैं ।, अतः,, 3 km = 3 x 1000 m 3000 m, इस प्रकार, अभीष्ट अनुपात 3 km:300 m, अर्थात् 3000 m:300 m या 10:1 है।, 8.2 तुल्य अनुपात, विभिन्न अनुपातों की भी आपस में तुलना की जा सकती है, जिससे पता चल सके कि वे तुल्य, हैं अथवा नहीं । ऐसा करने के लिए, हमें अनुपातों को पहले भिनों के रूप में लिखना पड़ता है।, और फिर उन्हें समान हर वाली भिन्नों में बदलकर उनकी तुलना करते हैं । यदि ये भिन्नें समान, हैं तब हम कहते हैं कि दिए हुए अनुपात तुल्य है।, उदाहरण 2, क्या अनुपात 1:2 अनुपात 2:3 के तुल्य है ?, 1, जाँच करने के लिए, हमें देखना होगा कि क्या, हल, 3, 1, 1x3, 3, 2, तथा, 6., 2x2, 4, हम पाते हैं।, %3D, 2x3, 3, 3x2, 3, 4, 1, हम देखते हैं कि, 6., है। अर्थात्, 6., 2, है।, 3, 2, अत:, अनुपात 1 : 2, अनुपात 2 :3 के तुल्य नहीं है ।, ऐसी तुलनाओं का उपयोग निम्न उदाहरण में देखा जा सकता है :, 2020-21

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राशियों की तुलना, 167, उदाहरण 3, एक क्रिकेट टीम द्वारा खेले गए कुछ मैचों में प्रदर्शन निम्न प्रकार हैं :, जीत, हार, पिछले वर्ष, 8, 2, किस वर्ष में प्रदर्शन बेहतर था?, इस वर्ष, ऐसा आप किस आधार पर कह सकते हैं?, हल, पिछले वर्ष, जीत : हार = 8 : 2 = 4: 1, इस वर्ष, जीत : हार = 4 : 2 = 2: 1, 4, स्पष्ट है कि 4: 1> 2: 1 (भिन्न रूप में, 2, अत:, हम कह सकते हैं कि पिछले वर्ष टीम का प्रदर्शन बेहतर अर्थात् अधिक अच्छा था ।, कक्षा VI में, हमनें देखा था कि तुल्य अनुपात किस प्रकार महत्वपूर्ण हैं । दो अनुपात यदि, तुल्य हों, तो वे एक समानुपात बनाते हैं। आइए समानुपात के बारे में स्मरण करें ।, राशियों को समानुपात में रखना और हल प्राप्त करना, अरुणा ने अपने मकान की रूपरेखा देखकर उसका एक प्रतिरूप कागज़ पर, और मकान के साथ ही अपनी माँ को भी खड़ा दिखाया ।, देखकर मोना बोली "इस चित्रांकन में कुछ गलती नजर, क्या आप बता सकते हैं कि इसमें क्या गलती है ?, आप ऐसा कैसे कह सकते हैं ?, यहाँ चित्र में दर्शाई गई ऊँचाइयों का अनुपात और वास्तव ऊँचाइयों का अनुपात, समान होने चाहिए।, मकान की सही ऊँचाई, माँ की सही ऊँचाई, मकान की ऊँचाई, चित्र में माँ की ऊँचाई, ऐसा होने पर ही सही समानुपात बनेगा । प्राय: जब सही समानुपात में कोई चित्र बनाया जाता, है, तब ही वह देखने में मोहक एवं आकर्षक लगता है ।, एक अन्य उदाहरण राष्ट्रीय ध्वज का है, जहाँ ध्वज को बनाने में सही समानुपात का ध्यान, है, रखा जाता, क्या आपको पता है कि राष्ट्रीय ध्वज सदैव, लंबाई व चौड़ाई के एक निश्चित, अनुपात में ही बनाए जाते हैं, जो विभिन्न देशों के लिए विभिन्न हो सकते हैं?, लेकिन प्राय: यह अनुपात 1.5:1 अथवा 1.7:1 होता है।, हम इस अनुपात का मान 3:2 के लगभग ले सकते हैं। लगभग यही मान भारत, में प्रयोग में लाए जाने वाले पोस्ट कार्ड में भी होता है, अब, क्या आप कह सकते हैं कि 4.5 cm लंबे तथा 3.0 cm चौड़े कार्ड में, यही अनुपात है? इसके लिए आपको अनुपातों 4.5:3.0 तथा 3:2 की तुल्यता देखनी होगी ।, To,, 4.5, 45, 3, हम देखते हैं कि 4.5:3.0=, %3D, 3.0, 30, अत:, हम पाते हैं कि 4.5 : 3.0 तथा 3 : 2 तुल्य अनुपात है।, 2020-21, terepublished

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168, गणित, वास्तविक जीवन में समानुपातों के व्यापक उपयोग मिलते हैं । क्या आप ऐसी कुछ, परिस्थितियों के बारे में सोच सकते हैं ?, हमने पिछली कक्षाओं में ऐकिक विधि से भी प्रश्न हल करना सीखा है । इस विधि में पहले, हम अनेक से एक और फिर वांछित संख्या के लिए मान ज्ञात करते हैं ।, आइए, अब देखें कि इन दोनों विधियों से एक ही समस्या को कैसे हल किया जाता है।, एक मानचित्र 1000 km को 2 cm से दशाते हुए बनाया गया है । यदि दो स्थानों, के बीच की दूरी मानचित्र में 2.5 cm है , तब उनके बीच की वास्तविक दूरी, कितनी होगी ?, उदाहरण 4, हल, अरुण ने हल ऐसे किया :, माना की दूरी = x km, मीरा ने हल ऐसे किया :, 2 cm दर्शाता है 1000 km को, CERT, reablishe, 1000, km को, तब 1000 : x = 2 : 2.5, 1000, या, 1000, 2.5 cm दर्शाता है।, ४ 2.5km को, 2, 2.5, 1000 xxx 2.5, या, अर्थात्, 1250 km को, 2.5, या 1000 x 2.5 = xx 2, या x = 1250, वास्तविक दूरी %= 1250 km, अरुण ने पहले समानुपात बनाकर फिर एक समीकरण प्राप्त किया और हल निकाला। मीरा, ने पहले 1 cm से प्रदर्शित दूरी ज्ञात की और फिर उससे 2.5 km से प्रदर्शित वास्तविक दूरी ज्ञात, की। इस प्रकार, उसने ऐकिक विधि का प्रयोग किया ।, अब आइए ऐकिक विधि को उपयोग में लाते हुए कुछ और समस्याएँ हल करें ।, यदि 6 कटोरियों का मूल्य 90 है, तब ऐसी ही 10 कटोरियों का मूल्य क्या होगा?, 6 कटोरियों का मूल्य, उदाहरण 5, हल, = { 90, 90, अत:, 1 कटोरी का मूल्य, 6., 90, अत:, 10 कटोरियों का मूल्य, x 10 = 150, 6., मेरी कार 25 लीटर पैट्रोल में 150 km की दूरी तय कर लेती है । 30 लीटर, पैट्रोल में यह कितनी दूरी तय करेगी ?, उदाहरण 6, हल, 25 लीटर पैट्रोल में तय की गई दूरी, = 150 km, 2020-21

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राशियों की तुलना, 169, अत:, 1 लीटर पैट्रोल में दूरी चलेगी, 150, km, 25, 150, अत:, 30 लीटर पैट्रोल में दूरी चलेगी:, x30km = 180 km, 25, इस विधि में, पहले हम एक वस्तु के लिए मान निकालते हैं, अर्थात् ऐकिक दर निकालते, हैं। यह दो विभिन्न गुणों की तुलना करके किया जाता है । उदाहरण के लिए वस्तुओं के मूल्य, से, करके एक वस्तु का मूल्य ज्ञात किया जाता है ।, तुलना, अथवा दूरी तथा समय दिए होने पर इकाई समय में तय होने वाली दूरी ज्ञात कर लेते हैं ।, इस प्रकार आप देख सकते हैं कि प्रत्येक को दर्शाने के लिए हम प्राय: प्रति का प्रयोग करते हैं ।, उदाहरण के लिए, किलोमीटर प्रति घंटा (km/h), विद्यार्थी प्रति अध्यापक, आदि, इकाई दर, प्रदर्शित करते हैं।, CE, repubirahed, सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए, एक चींटी अपने भार से 50 गुना भार ढो सकती है । यदि यही, ज्ञात कीजिए कि आप कितना भार ढो पाएँगे ?, थ्य मानव पर, हो, तब, प्रश्नावली 8.1, 1. अनुपात ज्ञात कीजिए :, (a) 5 का 50 पैसे से, (b) 15, को 210 g से, (d) 30 दिनों का 36 घंटों से, 2. एक कंप्यूटर प्रयोगशाला में 6 विद्यार्थियों के लिए 3 कंप्यूटर होने चाहिए । ज्ञात, कीजिए कि 24 विद्यार्थियों के लिए कितने कंप्यूटरों की आवश्यकता होगी ?, (c) 9 m का 27 cm से, 3. राजस्थान की जनसंख्या, 570 लाख और उत्तर प्रदेश की जनसंख्या, 1660, लाख राजस्थान का क्षेत्रफल %= 3 लाख km और उत्तर प्रदेश का क्षेत्रफल %3D 2, %3D, लाख km°, ज्ञात कीजिए, (i) इन दोनों राज्यों में प्रति km कितने व्यक्ति हैं ?, (ii) किस राज्य की जनसंख्या कम घनी है ?, 8.3 प्रतिशतता-राशियों के तुलना करने की एक और विधि, अनीता की रिपोर्ट, रीता की रिपोर्ट, प्राप्तांक : 320/400, प्राप्तांक : 300/360, प्रतिशत : 80, प्रतिशत, : 83.3, अनीता कहती है कि उसका परीक्षाफल अधिक अच्छा है, क्योंकि उसने 320 अंक प्राप्त किए, है जबकि रीता ने केवल 300 अंक । क्या आप उससे सहमत हैं ? आपके विचार में किसका, परीक्षाफल अधिक अच्छा है ?, 2020-21