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सीधा और प्रतिलोम, समानुपात, , 13.1 भूमिका, , मोहन स्वयं अपने और अपनी बहन के लिए चाय बनाता है। वह 300 प्रा, पानी,, 2 चम्मच चीनी, 1 चम्मच चाय-पत्ती और 50 शा, दूध का उपयोग करता है।, यदि वह पाँच व्यक्तियों के लिए चाय बनाए, तो उसे प्रत्येक वस्तु की कितनी, मात्रा की आवश्यकता होगी?, यदि दो विद्यार्थी किसी सभा के लिए कुर्सियाँ व्यवस्थित करने में 20 मिनट, का समय लगाते हैं, तो इसी कार्य को करने में 5 विद्यार्थी कितना समय लेंगे?, हमें अपने दैनिक जीवन में ऐसी अनेक स्थितियों का सामना करना पड़ता है, जहाँ, हमें यह देखना आवश्यक हो जाता है कि एक राशि में परिवर्तन होने से दूसरी राशि, में भी परिवर्तन हो रहा है।, उदाहरणार्थ :, 6) यदि खरीदी गई वस्तुओं की संख्या में वृद्धि होती है, तो उनके कुल मूल्य में भी वृद्धि होती है।, 0) बैंक में जितनी धनराशि अधिक जमा की जाएगी, उतना ही ब्याज अधिक अर्जित होगा।, (कं) जब किसी वाहन की चाल में वृद्धि होती है, उसके द्वारा वही दूरी तय करने में लिए गए, समय में कमी होती है।, (6५) एक दिए हुए कार्य के लिए, जितने अधिक व्यक्ति कार्य पर लगाए जाएँगे, उतना ही उस, कार्य को पूरा करने में कम समय लगेगा।, ध्यान दीजिए कि एक राशि में परिवर्तन से दूसरी राशि में परिवर्तन हो रहा है। ऐसी पाँच और, स्थितियाँ लिखिए, जहाँ एक राशि में परिवर्तन होने से दूसरी राशि में भी परिवर्तन होता है।, मोहन द्वार आवश्यक प्रत्येक वस्तु की मात्रा हम किस प्रकार ज्ञात करते हैं? या पाँच विद्यार्थियों, द्वारा कार्य पूरा करने में लिए गए समय को हम किस प्रकार ज्ञात करेंगे? इस प्रकार के प्रश्नों के, उत्तर देने के लिए, हम अब कुछ विचरण (थ्ञांधांणा) की अवधारणाओं का अध्ययन करेंगे।, , , , 13.2 सीधा समानुपात, , यदि 1|४ चीनी का मूल्य ₹ 18 है, तो 3/४ चीनी का मूल्य क्‍या होगा? यह ₹ 54 है। इसी, प्रकार, हम 51९ या 818 चीनी का मूल्य ज्ञात कर सकते हैं।, , 2021-22, , , , अध्याय

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210 हल गणित, , निम्नलिखित सारणी का अध्ययन कीजिए :, , ध्यान दीजिए कि जैसे-जैसे, चीनी के भार में वृद्धि होती हे,, वैसे-वैसे उसके मूल्य में भी इस, प्रकार से वृद्धि होती है कि इनका, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , हे है अनुपात (810) अचर रहता है।, , चीनी का भार (1५8 में, _-- जज 08वें) [1] जा [६ | | | (0 एक और उदाहरण लीजिए।, मूल्य (रुपयों में) 36 | 108 | 180 | मान लीजिए एक कार 60 [छा, , की दूरी तय करने में 4 लीटर, पेट्रोल का उपयोग करती है तो, वह 12 लीटर पेट्रोल में कितनी, दूरी तय करेगी? इसका उत्तर, 180 |. है। हमने इसे कैसे, परिकलित किया? क्योंकि दूसरी स्थिति में 12 लीटर, अर्थात्‌ 4 लीटर का तीन गुना पेट्रोल प्रयोग, होता है, इसलिए तय की गई दूरी भी 60191 की तीन गुना होगी। दूसरे शब्दों में, जब पेट्रोल की, खपत तीन गुना होगी, तो तय की गई दूरी भी पहली दूरी की तीन गुना होगी। मान लीजिए कि पेट्रोल, की खपत » लीटर है तथा तय की गई संगत दूरी »]01 है। अब निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :, , पेट्रोल (४) लीटर में | 4 | & | 12.1 15, दूरी 0) | में, , हम पाते हैं कि जब » के मान में वृद्धि होती है, तब » के मान में भी इस प्रकार वृद्धि होती, है कि अनुपात -ः में कोई बदलाव नहीं आता है। यह अचर (मान लीजिए #£) रहता है। इस स्थिति, , में, यह ८ है, (इसकी जाँच कीजिए)।, , , , , , 20 3] |, , , , , , , , , , , , , , , , 60 10019 गा ... |, , , , यदि एप 5६ या ४51७ हो, तो हम कहते हैं कि » और » में सीधा या प्रत्यक्ष, समानुपात (९९ ए/0०फ०णणांगा) हे [अथवा वे अनुक्रमानुपाती (कास्ताए एक्‌्ग्नांगान) हें ।, इस उदाहरण में, ८6 -प66 है. जहाँ 4 और 12 पेट्रोल की खपत की लीटर में मात्राएँ (४) हैं, तथा 60 और 180 [1 में दूरियाँ (४) हैं। अतः, जब » और $ में प्रत्यक्ष या सीधा अनुपात, , होता है, तो हम पु न हे लिख सकते हैं। [५ के मानों »,, », के लिए » के संगत मान क्रमश:, 1 2, , 31539 हैं।), पेट्रोल की खपत और एक कार द्वारा तय की गई दूरी एक प्रत्यक्ष अनुपात की स्थिति है। इसी प्रकार,, व्यय की गई कुल धनराशि और खरीदी गई वस्तुओं की संख्या भी प्रत्यक्ष अनुपात का एक उदाहरण है।, प्रत्यक्ष अनुपात के कुछ और उदाहरणों के बारे में सोचिए। जाँच कीजिए कि क्‍या मोहन (प्रारंभिक, उदाहरण में) पाँच व्यक्तियों के लिए चाय बनाने के लिए 750 7, पानी, 5 चम्मच चीनी,, , 2021-22

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सीधा और प्रतिलोम समानुपात हल 211, , 1 'क्रैयाकलापों, 23 चम्मच चायपत्ती, 125 शा, दूध का प्रयोग करेगा। आइए, निम्नलिखित क्रियाकलापों की सहायता से प्रत्यक्ष, , अनुपात की अवधारणा को और अधिक समझने का प्रयत्न करें।, , 6) *» एक घड़ी लीजिए और उसकी मिनट वाली (बड़ी) सुई को 12 पर स्थिर कौजिए। 1, * मिनट की सुई द्वारा अपनी प्रारंभिक स्थिति से घूमे गए कोणों एवं बीते हुए समय को, निम्नलिखित सारणी के रूप में लिखिए : है, , , , , , , कह, , , , , , व्यतीत हुआ समय ता) (1) () जा), (1) (मिनटों में) 15 30 45 60, घूमा गया कोण (४) (6) (0,) (१) (७), (डिग्री में) 90 रा हे हा, क्र, कस, , , , , , , , , , , , , , , , आप '' और & के बारे में क्या देखते हैं? कया इनमें साथ-साथ वृद्धि होती, , न, है? क्‍या ऋ्‌ प्रत्येक समय वही रहता है?, , क्या मिनट की सुई द्वारा घूमा गया कोण व्यतीत हुए समय के अनुक्रमानुपाती, (कार्ल५ छञण0ण1०1७) है? हाँ!, , उपरोक्त सारणी से, आप यह भी देख सकते हैं कि, , पु : 7,5 & | : &, , क्योंकि, , 1 ्, के 1 15 30-५2, 2. 1, ड्ः, , , , >>, 15, 5 9 80-1:2, जाँच कीजिए कि क्‍या गए बच तथा ग. : 7 -/, :/, है।, आप स्वयं अपने समय अंतराल लेकर, इस क्रियाकलाप को दोहरा सकते हें।, (1) अपने मित्र से निम्नलिखित सारणी को भरने के लिए कहिए तथा उसकी आयु और उसकी, माँ की संगत आयु का अनुपात ज्ञात करने के लिए भी कहिए।, , , , , , , , , , , , | | पाँच वर्ष पहले की आयु | वर्तमान आयु | पाँच वर्ष के बाद की आयु, मित्र को आयु (), माँ की आयु (५), हम, रे हा | /;, , , , , , , , , , , , आप कया देखते हैं? क्या 7 और ५ में साथ-साथ वृद्धि (या कमी) होती है? क्या कण, , प्रत्येक बार वही है? नहीं। आप इस क्रियाकलाप को अपने अन्य मित्रों के साथ दोहरा, सकते हैं तथा अपने प्रेक्षणों को लिख सकते हें।, , 2021-22

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212 हल गणित, , इस प्रकार, यह आवश्यक नहीं है कि साथ-साथ बढ़ने (या घटने) वाले चर सदैव, अनुक्रमानुपाती हों। उदाहरणार्थ :, () मानवों में भौतिक परिवर्तन समय के साथ होते रहते हैं, परंतु आवश्यक नहीं है कि ये एक, पूर्व निर्धारित अनुपात में हों।, 6) व्यक्तियों के भार और लंबाई में परिवर्तन किसी ज्ञात अनुपात में नहीं होते हैं।, (1) किसी पेड़ की ऊँचाई और उसकी शाखाओं पर उगने वाली पत्तियों की संख्या में सीधा, संबंध या अनुपात नहीं होता है।, , 1. निम्नलिखित सारणियों को देखिए तथा ज्ञात कीजिए कि क्‍या «» और » अभनुक्रमानुपाती हैं।, , 60 6 % | 20 | 17 | 14 | 11 | 8 | 5, , 2 | 40 | 34 | 28 | 22 | 16 10 4 ॥, , , , , , , , , , , , 0) (6 ॥10 |14 | ४ | 22 | 5 ४, व [8 158 66 | आई, , , , , , , , , , ध) +£ 5 | $ | 12% 15 | ले ।ै०0, , ञ ये 24 | 36 | 60 | 0 1 72.1 100, , 2. मूलधन - 1000 रुपये, ब्याज दर -8% वार्षिक। निम्नलिखित सारणी को भरिए तथा ज्ञात, , कीजिए कि, किस प्रकार का ब्याज (साधारण या चक्रवृद्धि) समय अवधि के साथ प्रत्यक्ष, 1 में बदलता या परिवर्तित होता है।, रे समय अवधि 1 वर्ष | 2वर्ष | 3 वर्ष, , साधारण ब्याज (रु में), चक्रवृद्धि ब्याज (रु में), , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ये, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , बा सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए आए, यदि हम समय अवधि और ब्याज की दर स्थिर रखें, तो साधारण ब्याज मूलधन के साथ प्रत्यक्ष, अनुपात में परिवर्तित होता है। क्या ऐसा ही संबंध चक्रवृद्धि ब्याज के लिए भी होगा? क्‍यों?, &.... आइए, अब कुछ उदाहरण हल करें, जहाँ हम प्रत्यक्ष अनुपात की अवधारणा का प्रयोग करेंगे।, , उदाहरण 1 : एक विशेष प्रकार के 5 मीटर कपड़े का मूल्य 210 रुपये है। इसी प्रकार के 2,, 4, 10 और 13 मीटर कपड़े के मूल्यों के लिए एक सारणी बनाइए।॥, , हल : मान लीजिए कि कपड़े की लंबाई » मीटर है तथा उसका मूल्य (रुपयों में) » है।, , हि 2] 4 [5 [6 ][5), 3, , 2 | ७ [20 | 0 | 5 », , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 2021-22

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सीधा और प्रतिलोम समानुपात हल 213, , जैसे-जैसे कपड़े की लंबाई में वृद्धि होती है, उसके मूल्य में भी उसी अनुपात में वृद्धि होती, जाती है। अतः, यह एक प्रत्यक्ष अनुपात की स्थिति है। ५ [गिल, , ख्, , , , , , , , , , , , हम ॥ 7 के प्रकार के संबंध का उपयोग करते हैं।, 1 का, 6) यहाँ &55, »5210 और ७८2 है।, जप 5 2., अतः, [ 5ए से हमें उन 1 ए प्राप्त होता है।, 3: हम ठह $% होता है, 2210, अर्थात्‌, 59, 52210 या 39०5८ दर 84, 42210, (0) यदि ४,5८4, तो ठा6 या 50, 54»210 या 335 16868, 25 है, [क्या हम यहाँ 5 हज का उपयोग कर सकते हैं? प्रयास कौजिए।], हि _. 10 10%210, (0) यदि ४,510, तो ग्रठ 5, या 59, 5102210 या 0४८ 420, 13 132210, 6५) यदि &:513, तो प्रात या या 5%53:513»210 या 3७४८ 546, 5 210. $%; 5, ध्यान दीजिए कि यहाँ हम >८ के स्थान पर दे या य या च। का भी उपयोग, [ के 210 84. 168. 420, कर सकते हें।], , उदाहरण 2 : 14 मीटर ऊँचे एक बिजली के खंभे की छाया 10 मीटर है। समान स्थितियों में, उस पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी छाया 15 मीटर है।, , हल : मान लीजिए कि पेड़ की ऊँचाई » मीटर है। हम नीचे दर्शाएं अनुसार एक सारणी बनाते हैं :, कि वस्तु की ऊँचाई (मीटर में ) 14, हे छाया की लंबाई ( मीटर में ) 10 15 ॥!, , ध्यान दीजिए कि वस्तु की ऊँचाई जितनी अधिक होगी, उसकी छाया की लंबाई उतनी ही अधिक, होगी। अतः, यह एक प्रत्यक्ष अनुपात की स्थिति है।, , , , , , , , , , , , , , , , अर्थात्‌, “+- जि से हमें प्राप्त होता है 105 (क्यों?), गा, 14215 _ 1493 _, जा ठग, , अत: »-21 | इस प्रकार पेड़ की ऊँचाई 21 मीटर है।, है. 7: >> _॥3, रे है, वैकल्पिक रूप से, हम [77 को 17 के रूप में लिख सकते हैं।, ज 329 ज.. ज2, अंत. # 88 750 755 या 14: ८ 10:15, _ 15214 _ »1, 10, , , , अतः 10%»%515»14 या, , , , 2021-22